Miller-Rabin 算法

Miller-Rabin 算法

Miller-Rabin 算法是一个以很大概率正确地判定一个奇数是不是素数的算法

O(\sqrt{n})?

一种很草率的方法便是用2,3,\cdots,\left\lceil\sqrt{n}\right\rceil分别去除n,但是这样的算法最坏情况是\Theta(\sqrt{n}),嗯……似乎n很大时会炸?

伪素数测试

Z^+_n表示Z_n中的非零元素:

Z^+_n={1,2,3,\cdots,n-1}

并且如果n是素数,那么Z^*_n=Z^+_n

根据费马小定理,我们可以知道,若p是素数,则a^{p-1}\equiv1(modn)对所有a\in Z^*_n成立

如果n是一个合数,且

a^{n-1}\equiv1(modn)

则称n是一个基为a的伪素数。如果能找出任意的a\in Z^+_n,使得n不满足该等式,那么n肯定是合数。并且它的逆命题也几乎成立,出错的概率很小。我们可以通过选取多个a来测试,但是总有一些合数n,使得所有的a\in Z^*_n,都满足该等式,它们被称为Carmichael数

Miller-Rabin 随机性素数测试

定理

如果p是一个奇素数且e>=1则方程

x^2\equiv1(modp^e)

仅有两个解,即x=1x=-1

证明

x^2\equiv1(modp^e)等价于

p^e\mid(x-1)(x+1)

,因为p>2,所以p\mid(x-1)p\mid(x+1)但它们不能同时成立,否则p能整除它们的差2。如果p\nmid(x-1),则gcd(p^e,x-1)=1,所以p^e\mid(x+1),也就是x\equiv-1(modp^e)。同理,如果p\nmid(x+1),则x\equiv1(modp^e)

我们称1-1是以n为模的1的平凡平方根,若x满足x^2\equiv1(modn)x不是以n为模的1的平凡平方根,则称x是以n为模的1的非平凡平方根

推论

如果对模n存在1的非平凡平方根,则n是合数

证明

由定理可知,如果对模n存在1的非平凡平方根,则n不可能是奇素数或奇素数的幂。有因为当n=2时只有平凡平方根,所以n是合数

应用

由上面的定理及推论可知,如果发现一个以n为模的1的非平凡平方根,那么可以判断n是合数

因此在伪素数测试过程中加入这个判断,正确性又会高

若witness函数返回true,则说明以a为证据可以判断n是合数

miller_rabin(n,s)表示对于n是不是素数测试s次

由算法导论中的定理31.39可得,miller_rabin出错的概率至多为2^{-s},并且选s=50基本上足够了

参考资料

《算法导论 第三版中文版》第31章数论算法

Miller-Rabin 算法
Tagged on:     

5 thoughts on “Miller-Rabin 算法

  • 2017年9月27日 at 下午7:40
    Permalink

    大佬大佬大佬
    %%%%%%%%

    Reply
  • 2017年10月15日 at 下午11:28
    Permalink

    Приобрести сироп Mangoosteen можно на веб-сайте http://mangystin.bxox.info/

    Джусинг: эффективное похудение на свежих соках.
    «Джусинг» (от англ. juicing) – буквально «соковый детокс» – очень модная диета. Только в США свежие соки – это индустрия с годовым оборотом в $5 млрд. Сегодня соковая диета для похудения имеет примерно столько же последователей, сколько яростных противников. Первые худеют и лучатся позитивом, вторые уверены, что первые наносят своему здоровью непоправимый вред. Мы выслушали обе стороны и разобрались в вопросе.
    В России весной в Facebook все смеялись над хипстером, который говорил: «На Масленицу моя бабушка всегда готовила смузи» (от smoothie – фруктовый или овощной коктейль). По-русски звучит ужасно, но все пьют. В Москве на Твер­ской не так давно открылся juice-бар U-Shake, где готовят на заказ несколько десятков видов шейков и смузи из сезонных фруктов и ягод; на Большой Никитской есть популярное кафе Juicy Bar, где свежие соки и миксы делают практически из всего, что растет. На дом и в офис индивидуально подобранные соковые detox-пакеты доставляет, в частности, кафе Fresh (оно находится на Большой Дмитровке). Это не даром – доставка стоит от 800 руб. в день, хотя морковь, свекла, яблоки и сельдерей стоят копейки.
    На соках действительно можно похудеть – они низкокалорийны, легко усваиваются, не содержат жиров.
    Пророщенные зерна пшеницы (wheatgrass) дороже, но тоже в пределах разумного. Зато соками регулярно очищаются Блейк Лайвли, Гвинет Пэлтроу, Сара Джессика Паркер, Сальма Хайек. Детокс-микс Дженнифер Энистон – это термоядерный коктейль из свежих огурцов, свеклы, шпината, листовой капусты, чеснока, имбиря, моркови и сельдерея. На соках действительно можно похудеть – они низкокалорийны, легко усваиваются, не содержат жиров. Плюс – особенно если фрукты и овощи сезонные – вы получаете мощный заряд витаминов, минералов и антиоксидантов. Адепты джусинга утверждают, что, в придачу к радикальной чистке организма, такая диета избавляет от мигрени, бессонницы, проблем с кожей, молочницы. Плюс серьезный психологический момент – соковая диета (по крайней мере, первое время) дает долгожданное ощущение легкости и чувство контроля над собственным телом. А для девушки контроль над телом – это примерно то же самое, что контроль над жизнью.
    Как выглядит идеальная соковая диета.
    Соковый детокс звучит, конечно, приятно. Однако уже к концу первого дня есть риск ощутить настолько острый приступ голода, что не сорваться будет просто невозможно. Для того, чтобы успешно пройти полный курс соковой диеты, который обычно составляет 3-7 дней, важно соблюдать некоторые правила, чтобы не давать организму повода для дополнительного стресса.
    Начинайте день с теплой воды с лимонным соком. В течение дня не забывайте про травяные чаи, теплую воду с лимоном или имбирем. Они не только наполнят желудок, не давая вам испытывать чувство голода, но и проводут отличную очищающую работу в кишечнике, что, собственно, и является одной из целей детокса. Учитывая, что соки перевариваются быстрее, чем полноценный завтрак или обед, будьте готовы увеличить количество приемов пищи в день. Лучше всего выпивать бутылочку сока не меньше 6 раз в день с перерывами в 2 часа. Запомните: сок не должен находиться вне холодильника дольше 8 часов! Поскольку утром наш организм особенно голоден и готов переварить и усвоить максимальное количество полезных продуктов, для завтрака наиболее предпочтительны зеленые смузи, ведь именно они содержат самый разнообразный коктейль полезных микроэлементов. Есть во время соковой диеты запрещено. Однако огурец или сельдерей, например, по большей части состоят из воды. Так что съесть парочку таких овощей в течение дня вполне можно - они не нарушают режим, зато психологически воспринимаются как прием пищи. Очень важно постепенно выходить из детокса. В первый день добавьте в рацион овощи и яблоки. На второй день уже можно готовить злаковые блюда и перекусывать орешками. На третий день организм будет готов адекватно воспринимать привычную пищу (конечно, без капкейков и круассанов - не зря же вы прошли через все это!). И помните: никаких лишних стрессов! Слишком быстрый возврат к тяжелой пище - это тоже стресс.
    Симптомы сокового детокса: когда организм избавляется от излишков кофе, вы можете почувствовать головную боль, нервозность и даже легкую дрожь в теле; избавление от излишков протеина, мяса или жиров, как правило, сопровождается кожной реакцией, возможным неприятным запахом или обложенностью языка. Это нормально!
    В чем опасность?
    Врачи недавно объявили эпидемию «джусорексии» (от слов juice и anorexia): число женщин, месяцами сидящих исключительно на соках и пренебрега­ющих любой другой едой, растет в геометрической прогрессии. Многие потом становятся пациентами реабилитационных центров с диагнозом «анорексия», серьезными симптомами зависимости и подорванным здоровьем.
    В соковом детоксе действительно много «но». Во фруктах и овощах много сахара, они дают быстрые приливы энергии, за которыми обычно следуют спады – зверские приступы голода, слабость и головокружение. Они кислые – это вызывает гастрит и язву желудка. Из-за того, что в организм не поступает достаточно клетчатки, через некоторое время подскакивает уровень холестерина и начинается запор. Не хватает протеина (это самое скверное, без него млекопитающее не может существовать), кальция и витамина D, не говоря уже о необходимых для кожи ненасыщенных жи­­рах. Уровень инсулина скачет – из-за этого нарушается производство коллагена и эластина, кожа становится заметно суше и появляются преждевременные морщины. В перспективе может развиться диабет. Даже двухнедельный со­­ковый детокс через три месяца отзыва­ется тем, что начинают выпадать волосы. Интенсивный джусинг вреден и для зубов – содержающиеся во фруктах и овощах сахара и кислоты разъедают эмаль и провоцируют кариес. (По­­этому врачи рекомендуют пить свежевыжатые соки только из трубочки и не бежать сразу после чистить зубы. Лучше, как ни странно, чистить зубы ДО того, и желательно использовать пасту с фтором.) А главное – после прекращения соковой диеты есть большой риск почти сразу вернуться в прежний вес или даже на­брать больше.
    «В день нужно потреблять пять порций свежих овощей и фруктов, пусть свежевыжатый сок будет одной из них, но никак не отдельным приемом пищи, – говорит член Британской Ассоциации диетологов Натали Джоунс. – Все, что сверх этого, приносит больше вреда, чем пользы».

    Приобрести сироп Mangoosteen можно на веб-сайте http://mangystin.bxox.info/

    Reply
  • 2017年11月11日 at 上午1:10
    Permalink

    Writing a medical thesis or dissertation is a task done by almost all postgraduate and master's medical students. Dissertation is derived from the Latin word disserto which means discuss. It is essential to write successful medical papers such as medicine essays and medical thesis papers. There are several reasons as to why students write medicine essays. One of the reasons is to promote enhancement of critical judgment, research skills as well as analytical skills. Moreover, medicine essay writing produce students with the ability to 4evaluate and analyze data critically.

    The initial step for writing medicine essays is to choose a topic. A writer should have at least three topics to choose from. The topic has to be interesting, feasible and relevant. It is essential to write quality medicine essay. Hence, students need to have analytical skills and perfect writing skills. The writing skills will enable them write outstanding essay papers that can be highly regarded by instructors and professors. Teachers often require a lot and expect a lot from their students in terms of medicine essay writing. for this reason, students find essay writing to be an extremely difficult task and hence resort to buying custom medicine essays.

    A custom medicine essay has to be written by professional writers who are qualified in the field of nursing. Moreover, the custom medicine essay has to be original and plagiarism free. This means that it has to be written from scratch by experts with many years experience. The many years experience should enable a writer to write any form of medical paper including medical thesis, medicine essay and even medicine research paper. Moreover, experience will enable a writer to write a medicine essay that can guarantee academic success.

    Students get custom medicine essays from custom writing company. It is essential to choose the best company so that one can get the best custom medicine essay. The best and the most reliable medicine essay writing company should have some unique characteristics such as affordability and the ability to provide original and superior quality medicine essays. The other quality is that the company has to hire expert writers who can write quality medicine essays and other types of medical papers. The essays should not only be quality but also plagiarism free and free of grammatical and spelling mistakes.

    A custom medicine essay has a similar structure to any other academic essay assignment. It has an introduction that introduces the topic and tells the reader what the essay is all about. The second section is the body that has many paragraphs supporting the main topic. Finally there is the conclusion that briefly summarizes what has been discussed in the body section of the essay. Students should choose reliable writing companies so that they can get quality custom papers on several fields such as technology, sociology and law in addition to medicine field.

    Our custom writing company is the best company that all clients should rely on when in need of any given type of medicine paper. We provide quality papers that not only plagiarism free but also original. Moreover, our custom papers are affordable and able to guarantee academic excellence at all times. All our medical papers are reliable and sure of satisfying clients at all times.

     

    Reply
  • 2017年11月13日 at 上午1:31
    Permalink

    Some people, especially those running on busy daily schedules tend to use the pills to help maintain weight since they can not afford to follow all the diet programs. This is not advised. It is recommended that one seek advice from a professional in this field before using the pills. This can save one from many dangers associated with the misuse.

    The diet pills should always be taken whole. Some people tend to divide the pills to serve a longer period of time. This is not advised and can lead to ineffectiveness. If it is required that one takes a complete tablet, it means that a certain amount of the ingredients are required to achieve the desired goal. It is also recommended that one does not crush the pill and dissolve it in beverages. Chemicals found in beverages have the potential of neutralizing the desired nutrients in the pill thereby leading to ineffectiveness. The best way to take the tablets is swallowing them whole with a glass of water.

    The diet pills speed up the metabolic processes. This is the key factor that leads to the burning of all the fats in the body. This means that one passes out lots of urine, which subsequently leads to dehydration. It is imperative that the user take lots of water round the clock. This will help curb dehydration, which can lead to health problems. In addition to that, water offers the required medium for the function of the nutrients and elimination of the fats.

    When buying the review of diet pills, it is imperative that one gets the most recommended dose. People tend to compromise the quality and effectiveness of the tablets due to the variation in cost. The low priced pills depict poor quality, which means their effectiveness is not reliable. Some have also been found to cause health problems. The dose should also be taken as recommended. Over dose will not speed up the process but rather lead to complication. This will increase risk of side effects. If the taking of the pill is forgotten, do not take more to compensate for the lost time.

    The diet plan enclosed with the diet pills has also to be followed. According to the requirements, the termination of the diet must be done even with no results. This means your body is irresponsive.

    Reply
  • 2017年11月20日 at 下午8:28
    Permalink

    Doctors have many challenges to face as they are perennially surrounded by patients, diseases, hospital duties and over-extended or odd shift timings. Universally, doctor is considered to be a noble profession and respectable one at that, but a doctor also has to work under immense pressures, emotional strains and other physical challenges.

    A regular physician like most of us at some point face will have to deal with personal situations such as important family affairs, family holidays, sickness or pregnancy that may force them to abandon medical duties. At the same time, a hospital or a healthcare facility is also constantly faced with emergency situations that demand all hands on deck round-the-clock. Therefore, every hospital, clinic or nursing home is compelled to hire locum tenens or substitute doctor in order to keep the staffing under control at all times.

    In fact, locum doctors are the most valuable asset for the medical community because they provide quality medical care and act as a helping-hand in emergency situations when the medical facilities need them the most.

    Unlike regular or permanent doctors, locum doctor jobs are also ideal career options for medical interns and graduates because they offer a wide array of medical exposure in varied medical specialties, work cultures and healthcare systems. Locum jobs are challenging and flexible, thus an increasing number of medical professionals have benefitted from these jobs, so whether one is looking for a family physicians position or in a hospital or in a clinic, locum jobs for doctors are available at all levels and in different healthcare systems.

    In addition, being a locum doctor gives a medical professional the control over their working hours, location of work and choice of area of specialisation. Technically, locum positions are not restricted to general physicians but they are also extended to other fields of medical specialisations such as cardiology, neurology and many more.

    Travelling can be an integral part of locum jobs, and these distinctive features are a boon for many dedicated medical professionals who are eager to expand their medical careers with loads of multi-cultural medical experiences. The fact that locum agencies in the UK recruit tens of thousands of locums from across the globe in various NHS hospitals, private clinics, nursing homes and other public hospitals speaks volume of the popularity of locum jobs.

    Locating or getting a locum tenens job is a simple task as long as you are registered with one of the many reputable locum agencies. These agencies act as the middle man between locum tenens and medical facilities, and they also look after all the details pertaining to travel for locum tenens, accommodation and the nature of locum work.

    Thus, maintaining a healthy locum doctor-agency relationship benefits both the parties, and it also increases the probability of getting recommendable employment opportunities and businesses or vice-versa.

    Reply

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注